Ignore that; I’m an idiot. If you treat it abstractly, it’s almost blindingly obvious.
You just have to prove that L^2 / A is constant within a similarity class. Take two members of the same similarity class, of areas A and A’ and lengths L and L’. Let F be the factor of the dilation that maps the first figure onto the other. Then A = F^2 * A’ and L = F * L. Squaring the length equation gives L^2 = F^2 * L’^2. Dividing the area equation by this, the F^2 factors cancel, yielding A / L^2 = A’ / L’^2. So the area to squared length ratio is indeed constant.
... the Pythagorean Theorem depends on the assumptions of Euclidean geometry and doesn't work on spheres or globes...
If a “proof” of the Pythagorean Theorem does not bring in the Euclidean nature of the space under consideration, in what sense can it be considered a proof at all?
According to this wikipedia article, the “Euclidean metric” – which could also be called the “Pythagorean metric” – is actually one of the axioms of a properly-specified Euclidean geometry.
More interesting (to me, at least) would be a discussion of how the Pythagorean Metric leads to our concept of geometric area.
Sorry, I just can’t see how doing it the other way around makes sense.
Hi Ralph, I think discussions of other geometries would be pretty interesting and a good follow-up (I need to read up on them). This wasn’t meant to be a rigorous proof from first principles, more a new intuition onto an old result.
[…] از ریاضی خوشتان می‌آید؟ دوست دارید یادی از درس و مدرسه و ریاضی بکنید (می‌دانم که احتمالاً بیشتر خواننده‌های اینجا هنوز درگیر درس و مدرسه هستند، اما خوب می‌دانید که؟! : کافر (؟!) همه را به کیش خود پندارد!). چند وقتی است که من مشترک این وبلاگ شده‌ام. حقیقتش نه برای این که بخوانم! فقط به خاطر این که ببینم! آخر می‌دانید طرف -صاحب سایت، که تا آنجا که در ذهن دارم هندی است- آدمی است که پشتکار عجیبی در نوشتن مطلب و همینطور تهیه تصاویر و گرافهای مرتبط با آن دارد. در انتخاب رنگ هم خوش‌سلیقه است. مثلاً این مطلبش را ببینید که در آن توضیح داده چطور می‌شود با کمک قضیه‌ی فیثاغورث هر فاصله‌ای را اندازه گرفت. یا این مطلب را که باز در مورد قضیه‌ی فیثاغورث است و یا این را که در مورد اعداد موهومی است. البته مطالب غیرریاضی هم دارد، توی نوشته‌ها هم غلطهای علمی دارد که معمولاً در نظرات به آن اشاره شده و آنها را تصحیح کرده، اما خوب به نظر من که جالب است. گفتم شاید برای شما هم جالب باشد. راستی اسم جالبی هم برای دامنه‌ی سایتش انتخاب کرده: betterexplained! […]
[…] The Pythagorean Theorem is not just about triangles. It is about the relationship between similar shapes, the distance between any set of numbers, and much more. […]
[…] The Pythagorean theorem can apply to any shape, not just triangles. It can measure nearly any type of distance. And yet this 2000-year-old formula is still showing us new tricks. […]
[…] Gelukkig is er BetterExplained, een site vol met betere verklaringen (en dan bedoel ik ook echt beter). In Surprising Uses of the Pythagorean Theorem geeft Khalid Azad een heldere uitleg. Elke rechthoekige driehoek kan in twee kleinere rechthoekige driehoeken verdeeld worden (in het plaatje is gekozen voor a = 3, b = 4 en c = 5, maar het geldt natuurlijk altijd). […]
hello, im a school student… and i have a project on pythagorean theorem… and i cant find out in concise the uses/applications of the same in daily life… please help…
[…] We’ve underestimated the Pythagorean theorem all along. It’s not about triangles; it can apply to any shape. It’s not about a, b and c; it applies to any formula with a squared term. […]